Los matemáticos enloquecen, los artistas creadores muy rara vez.
En ningún sentido, como se verá más adelante, estoy atacando a la lógica.
Lo único que estoy diciendo es que el peligro de enloquecer reside ahí y no en la imaginación.
Gilbert Keith Chesterton
Los principios que gobiernan la maquinaria de la deducción lógica fueron establecidas por Aristóteles hace más de 2300 años y en la lógica tradicional son tres: identidad, no-contradicción y el tercero excluido. Los tres son tan obvios que pareciera indigno fijarse en ellos. El principio de identidad afirma que toda cosa es igual a sí misma. A es A. De P siempre se infiere P. Según el principio de no-contradicción ninguna cosa puede ser y no ser. A no puede ser B y al mismo tiempo no ser B. Dos proposiciones contradictorias (P y -P) no pueden ser las dos verdaderas. Al principio del tercero excluido la lógica tradicional lo formuló así: o A es B o A no es B. Ahora lo leemos del siguiente modo: o bien P es verdadera, o bien su negación (-P) lo es. Entre dos proposiciones contradictorias no hay una tercera posibilidad, la tercera está excluida. Estos principios fundamentales de la lógica se identificaron con las leyes del pensamiento y por lo tanto, no se cuestionaron. Dicho de otra manera, no se cuestionaron simplemente porque eran incuestionables. Ya lo decía sutilmente Aristóteles: no se puede desatar al que no se ha dado cuenta que está atado. Así como la geometría euclideana era la única geometría posible y asombraba por su exacta aplicabilidad a la realidad, así estas leyes aristotélicas describían con exactitud la única manera correcta de pensar.
Pero en la primera mitad del siglo 19, después de una complicada serie de pruebas e intentos alrededor del famosos postulado de las paralelas (postulado 5 del Libro I de Euclides), el matemático ruso Nicolás Ivanovich Lobachevski (1793-1856) construyó una geometría en la que resultaba falso el 5 postulado de Euclides. Lobachevski, Gauss y Bolyai llegaron a la conclusión de que la geometría euclideana no era sino una entre varias geometrías que se distinguen entre sí porque cada una parte de un conjunto particular de axiomas cuya validez exige solamente consistencia. La geometría de Euclides dejó de ser la geometría para convertirse en una más. Este descenso de la geometría euclideana de su categoría de “única” minó el status de invulnerabilidad del que gozaba la lógica pues algunos lógicos comenzaron a pensar que, aún cuando estas tres sencillas leyes correspondiesen con exactitud a nuestra manera de razonar, eso no las revestía de ningún carácter especial. El histórico caso de las paralelas sirvió de escarmiento contra las prohibiciones apriorísticas; las leyes de la lógica dejaron de ser inviolables y los tres principios básicos fueron desafiados en nuevos sistemas explorados por los lógicos.
Pero fue el tercero, el llamado principio del tercero excluido, tercio excluso o tertium non datur el que fue sometido a mayor escrutinio; de él vamos a platicar un rato hoy. Pero antes, quisiera señalar el carácter reflexivo y pedagógico -más que erudito o académico- de esta comunicación, e invitarlos a repensar este principio: qué significa, cuándo se aplica, cuáles son los mejores modos de comunicar su contenido y dónde buscar los materiales más adecuados para presentarlo y explicarlo en un salón de clases. De entrada, sugiero que el camino sea aristotélico en el sentido de primero ir al encuentro del principio del tercero excluido en lo que es más conocido para nosotros, i.e., en la lógica formal y clásica, con plena carta ya de disciplina científica y tal como se imparte en los primeros cursos de la enseñanza media y superior; y después dirigirnos a lo que, si bien no estoy segura de que sea más conocido por la naturaleza, sí es menos conocido para nosotros: las “otras” lógicas o lógicas no-clásicas. Al final, el maestro le abrirá al alumno la puerta de acceso a las vicisitudes de los protagonistas humanos de esta extraña y singular historia acerca de la tolerancia lógica, la intolerancia humana y el principio del tercero excluido. Ella dará testimonio de que la lógica no es la divina contemplatriz de la vida, serena e inmutable; eternamente ajena a las tragedias humanas.
Cada vez es menos extraño encontrar libros de textos y tratados de lógica con algún capítulo -generalmente al final- dedicado a las lógicas no clásicas. Son lógicas que difieren en algún rasgo de la lógica clásica, y por esta razón habría que entender aquéllas contra el fondo de ésta. En el cálculo proposicional clásico que se enseña hoy en las escuelas de educación media y superior, todo enunciado tiene dos, y sólo dos, posibles valores de verdad: verdadero o falso. P o -P. El principio del tercero excluso hace a la lógica una lógica bivalente. Dicho sea de paso, en este supuesto se apoyan todas las demostraciones matemáticas por reducción al absurdo (que son muchísimas). A principios de los años veintes, algunos lógicos como Emil Post y los polacos Jan Lukasiewicz y Alfred Tarski hicieron a un lado el principio del tercero excluso y mostraron que era posible construir sistemas lógicos trivalentes perfectamente consistentes. En la actualidad hay más de tres mil versiones. Estos sistemas, a los valores “verdadero” y “falso”, han añadido el antes excluido del tradicional sistema binario, ahora incluido en los nuevos sistemas y lo llamaron “indeterminado”, “dudoso” o “incierto”. A partir de entonces se han venido inventado sistemas polivalentes con más de tres valores de verdad e incluso se han construido sistemas con infinitos valores de verdad, lo cual parece indicar que el principio del tercero excluido no estaba escrito en el Cielo. Junto a estas lógicas tri y polivalentes que se presentaron como extensiones de la lógica clásica apareció una que se presentó a sí misma no como una extensión sino como alternativa y un desafío a ella: la lógica intuicionista derivada de la filosofía de las matemáticas del matemático y filósofo holandés Luitzen Egbertus Jan Brouwer (nace en 1881 y muere en un accidente de carretera en 1966).
Las aplicaciones de la lógica en las matemáticas son tan obvias que no necesitan ser defendidas: fueron las matemáticas las que dieron lugar a la lógica matemática o lógica moderna, después llamada lógica clásica o standard. Los logicistas consideraron que la matemática era parte de la lógica y buscaron en ésta, la garantía para aquélla. Para eso nació la lógica matemática, para proveer de cimientos al edificio de las matemáticas y afianzar su construcción. A este proceso se le conoce como la historia de la “fundamentación lógica de las matemáticas”. Que la lógica proposicional clásica -bivalente y sin functores intensionales- junto con el cálculo de predicados de primer orden con igualdad, y la teoría de conjuntos, son suficientes para la formalización de (casi) todo el razonamiento matemático es algo aceptado hoy en día (casi) por unanimidad. Queda, sin embargo, el problema de si basta para la formalización de cualquier razonamiento -y en particular de los argumentos filosóficos- en lenguaje natural. Es así que el desarrollo de las lógicas no clásicas estuvo motivado, o bien por la necesidad de acercar la lógica al lenguaje natural (por ejemplo, las lógicas relevantes o las paraconsistentes), o bien por el deseo de hacer más precisas ciertas ideas filosóficas vía conceptos lógicos (por ejemplo las lógicas polivalentes), o ambas cosas (por ejemplo las distintas lógicas modales -alética, doxástica, deóntica, epistémica, temporal, etc.). No es el caso del intuicionismo y la lógica intuicionista. Porque Brouwer no acepta que la lógica clásica sea suficiente para formalizar el razonamiento matemático; de hecho, ni siquiera acepta que sea necesaria. El objetivo del primer capítulo de su disertación doctoral (Amsterdam, 1907) fue mostrar que nuestro razonamiento es razonamiento matemático, que el razonamiento matemático no es razonamiento lógico ni necesita de su intermediación, [...] que tal vez sólo por inercia las matemáticas mantienen vivo el lenguaje que acompaña al razonamiento lógico ya que su uso ha desembocado, en la vida común y corriente en toda clase de malentendidos, y en las matemáticas en las falsas nociones de la Teoría de Conjuntos. Estas nociones surgieron como consecuencia de que las matemáticas hacen uso del lenguaje del razonamiento lógico, a pesar de que nuestro razonamiento no es lógico sino matemático, algo totalmente distinto [...] El lenguaje no juega otro papel que el de memorizar las construcciones matemáticas, de tal suerte que la lógica por sí misma es incapaz de crear nuevos sistemas matemáticos e incapaz también de deducir algún “estado de cosas matemático”. El propósito del capítulo 2 fue mostrar que la lógica no nos enseña nada del mundo, que únicamente está al servicio de abogados y demagogos, que no es un medio para enseñar a la gente sino para engañarla. […] El mundo no es un sistema lógico, y por lo tanto no podemos discutir acerca de él lógicamente [...], sabemos que las únicas disputas posibles son aquellas que pueden entablarse mediante el razonamiento matemático. La fundamentación de la matemática en la lógica, la teoría de conjuntos y los números transfinitos muestran el peligro de caer en un camino falso por hacer uso del razonamiento lógico. Brouwer fue un rebelde. Pero fue también un brillante matemático, y sabía que sus protestas quedarían como un grito en el desierto si no convencía a sus colegas de su enorme capacidad como matemático y mostraba los errores que involucraban las otras filosofías. Por eso dedica cinco años de su vida (de 1907 a 1912) a la rama más joven de las matemáticas: la topología. Prácticamente él fue su creador. La calidad y cantidad de sus trabajos (nuevos teoremas, nuevos métodos, cientos de artículos y más de cuarenta trabajos mayores) además de ser una prueba contundente de su maestría en matemáticas, le proporcionaron un sólido prestigio internacional. Su genio y originalidad fueron reconocidos públicamente por Hilbert, Poincaré, Klein, Mannoury, Einstein (entre otros) y le valieron (1912) un professorship de su alma mater, la universidad de Amsterdam. Una vez establecida su autoridad y asegurada su posición y economía, Brouwer regresa con nuevos ímpetus a su verdadero interés, su programa intuicionista. El resto de sus energías las concentrará Brouwer en una reconstrucción completa de las matemáticas y un ataque renovado contra los excesos del formalismo de Hilbert y del logicismo de Russell y asociados. Brouwer fue un tipo extraño y brillante. Egocéntrico, catatónico y misántropo, se sentía a disgusto con todos los que entraban en contacto con él y prefirió aislarse por largos períodos de tiempo en una cabaña campestre que el personalmente construyó para recluirse a trabajar. A pesar de su falta de interés en la gente, Brouwer fue hipersensible y se involucró una y otra vez en interminables disputas, reales e imaginarias. Su ambición desmedida por el prestigio internacional y su desconfianza, casi patológica, hacia sus colegas, hicieron imposible cualquier cooperación. Brouwer convertía los debates académicos en batallas y a los amigos que no compartían sus ideas, en enemigos. Su obra constituye el manifiesto de un matemático muy enojado porque siente amenazada la autonomía de las matemáticas por las pretensiones “fundacionistas” y colonizadoras de la lógica. Él quiere unas matemáticas libres y soberanas y luchará toda su vida por evitar que la lógica le imponga sus leyes.
