Por su origen, la matemática tiene con la lógica una relación indisoluble. Liberarla de ese pecado original fue el mérito de Brouwer. Las críticas de Brouwer a las posiciones realistas de los logicistas se concentraron en la aplicación de la lógica clásica [proposicional y de predicados] a totalidades infinitas. Brouwer prohibió los infinitos como totalidades completas y prohibió asumir que una proposición es o verdadera o falsa antes de probar de un modo explícito o lo uno o lo otro. Y en su búsqueda de errores matemáticos consecuencia del uso de principios lógicos, Brouwer centró su atención en el principio del tercio excluso y en el concepto de negación. No siempre se entiende bien la filosofía de Brouwer; a veces, se cree que la lógica intuicionista es una lógica que niega el principio del tercio excluso y la doble negación. Eso no es verdad. La recusación intuicionista de la ley del tercio excluso no debe entenderse como una negación de esta ley. Recusar no es negar. Recusar una ley es rehusarse a admitir su validez así sin más; es ponerle tachas y peros, es no anticiparse, es tener la precaución de decir: “vamos a ver si aquí sí o si aquí no”. El intuicionismo no niega el tercio excluso o la doble negación, nos ofrece una nueva teoría de estos principios. El principio del tercero excluso no es para Brouwer una tautología sin sentido sino una extrapolación injustificada a conjuntos infinitos de un hecho que puede en general probarse para conjuntos finitos. Con este principio Brouwer ilustra su tesis: los principios lógicos no son confiables y en él se apoya para decirnos “no te fíes de la lógica, no necesariamente toda proposición representa una verdad demostrada o una falsedad probada”; i.e., una construcción o una refutación. La existencia de hipótesis no probadas y de problemas matemáticos no resueltos es una refutación del principio del tercero excluso. Porque Brouwer no niega el principio del tercero excluso es que puede rechazarlo y al mismo tiempo afirmar la negación de la negación de esta ley: – -(p v-p) sí vale (p v-p) no vale. Aún menos hay que entenderla como afirmación de un tercer valor veritativo intermedio entre la verdad y la falsedad. La lógica intuicionista no es una lógica trivalente. Como consecuencia a su recusación del principio del tercero excluso, Brouwer rechaza lo que describe como “casos particulares” de este principio: que verdad y no contrariedad o absurdidad de absurdidad, sean equivalentes (la complementariedad verdad/absurdidad) y la prueba indirecta o demostración por reducción al absurdo. Su original enfoque de la negación, llevó a Brouwer a resultados muy interesantes, incluso -y muy a su pesar- en el campo de la lógica. Su interpretación estricta de la negación o “absurdidad”, generó una nueva lógica: el “cálculo de absurdidades” o lógica de Brouwer. En general la doble negación de una proposición es más débil que la proposición misma, -(-p)® p no es válido en la lógica intuicionista aunque p® -(-p), sí lo es; pero la triple negación de una proposición sí es equivalente a su simple negación, -(-(-p)) « –p
En palabras de Brouwer: “absurdidad de absurdidad de absurdidad es equivalente a absurdidad” La prueba por reductio ad absurdum es un ejemplo de razonamiento lógico (ergo, no matemático) y, por ende, es una muestra de un modo falaz de razonar. Si queremos demostrar p y suponemos -p y llegamos a una contradicción, no hemos demostrado p -dice Brouwer. Lo que hemos encontrado es una refutación de -p, es decir, hemos demostrado -(-p), pero de ahí no podemos inferir p. El rechazo de la complementariedad de verdad y absurdidad obviamente invalida la equivalencia clásica – -p « p pues – -p ® p no es válido, aunque p® – -p sí lo es. Es decir, el intuicionismo acepta la refutación pero no la prueba por RAA. Ejemplos: ¿Existe en la expansión decimal de p (3.14159…) un dígito más frecuente? No tenemos ni una prueba ni una refutación. El número de parejas de dígitos iguales en la expansión decimal de p, ¿es finito or infinito? No tenemos ni una prueba ni una refutación. La secuencia 123456789 ¿aparece o no aparece en la expansión decimal de p? Por el momento, no tenemos ni una prueba ni una refutación. Por la ley del tercero excluido son verdaderas las proposiciones que dicen que o bien existe en la expansión decimal de p un dígito más frecuente o bien no existe; o bien el número de parejas de dígitos iguales en la expansión decimal de p es finito o bien es infinito. En particular, por la ley del tercero excluido es verdadera la proposición que dice que la secuencia 123456789 o bien aparece, o bien no aparece en alguna posición de la expansión decimal de p; uno puede a continuación proceder a definir un número n como la posición menor en la que aparece el primer caso, y 0 si no aparece.
Oponiéndose a esta visión platonista, Brouwer restringe el conocimiento matemático a las construcciones mentales y demostraciones que se pueden saber. Para poder decir que sabemos que una proposición P es verdadera necesariamente tenemos que tener una demostración de ella; para saber que su negación P lo es, necesitamos de una refutación de P, i.e., una demostración de que P nos lleva a una contradicción. En el ejemplo que estamos considerando, para la proposición que afirma que la secuencia 123456789 aparece en alguna posición de la expresión decimal de p, no hay por el momento, ni una prueba ni una refutación; por tal razón no hay una construcción del número n. Las posturas logicistas y formalistas aceptan la ley del tercero excluido PvP para cualquier proposición P (incluidas las que se refieren a totalidades infinitas). En otras palabras, se acepta que o bien P es verdadera, o bien P es falsa. Y esto no puede aceptarlo, así en general, un intuicionista, puesto que no puede estar seguro de poder encontrar para toda P, o una prueba o una refutación. Otro ejemplo: Todo número real del intervalo cerrado [0,1] tiene una representación r=0.a1a2a3… (donde cada an=0,1,…,9). Si P(n) es la propiedad “an es menor que 9″, uno tiene que admitir: o bien existe una n tal que P(n), o bien, para toda n, P(n) falla. (ley Z). La ley lógica Z se reduce, en este caso, a la proposición o bien r=1, o bien r es distinto de 1. Desde luego que la ley lógica Z puede probarse cuando n recorre un conjunto finito de enteros y P(n) es un predicado decidible; Brouwer argumenta que la aceptación de esta ley lógica se basa en una extrapolación injustificada a conjuntos infinitos. También es digna de notar la recusación intuicionista de -(x)F(x) ® ($ x) -F(x) pero es válida para el intuicionista la implicación inversa ($ x) -F(x) ® -(x)F(x).
A partir de Brouwer, al tratar a la lógica como una herramienta de descripción y formalización del razonamiento matemático, es necesario distinguir entre: matemática clásica y matemática intuicionista. La matemática intuicionista requiere, por un lado, una lógica menos fuerte que la clásica (de la cual se excluyen algunas leyes, e.g. el tercio excluso), y por otro, de un razonamiento más poderoso que cualquier lógica, el razonamiento matemático. ¿Cuál es la naturaleza de la fuerza que se le asocia al razonamiento matemático? Las demostraciones de los teoremas parecen manifestar una forma particularmente potente de persuasión, ¿cómo podemos poseer intuiciones tan profundas de cosas tan grandiosas? -se pregunta Brouwer. Brouwer se interesó en los fundamentos de las matemáticas; pero en contraste con los estudios “clásicos” de los fundamentos, tales como el de Russell, que pretenden suministrar una definición de los conceptos matemáticos en términos de conceptos lógicos, su tesis es que las matemáticas no tienen ningún fundamento fuera de ella misma. Su propósito fue “llevarnos a apreciar el trabajo del razonamiento matemático, momento a momento, en el sitio donde tiene lugar [la mente humana]“. A la lógica fundada por Frege y Russell se le llamó en un principio lógica matemática porque se le tenía como apropiada para las matemáticas. Después de Brouwer y Heyting se le llamó también lógica clásica como contrapuesta a la lógica intuicionista. En este sentido, las lógicas modales pueden verse como clásicas, ya que no cambian el significado de las constantes lógicas clásicas; solamente añaden nuevas constantes (los operadores modales de necesario, contingente, posible, imposible, permitido, prohibido, obligatorio, meritorio, indiferente, etc.). Las llamadas lógicas libres son simplemente lógicas clásicas de primer orden (o lógicas modales) sin presupuestos de existencia.
La imagen popular del matemático es la de una persona de argumentaciones austeras, objetivas e impersonales en la que no hay lugar para el fanfarroneo o la insinuación, pero el debate que se dio entre las tres grandes escuelas, logicismo, formalismo e intuicionismo -y en particular entre las dos últimas- a principios del siglo XX, desmienten esta idea. Comparativamente a otros ámbitos académicos, los pleitos en matemáticas son raros, pero cuando se dan, exhiben una ferocidad y longevidad rayana en la locura. En el conflicto por la fundamentación de las matemáticas sobresalen dos batallas. La primera se dio entre el constructivista Kronocker -que abocaba por un intuicionismo primitivo- y Cantor, el genial creador de la teoría de conjuntos y los números transfinitos, quien hizo uso liberal y profuso de los infinitos actuales y la reductio ad absurdum. Este primer combate termina cuando Kronocker muere y Cantor pierde la razón. Cantor ya había sufrido crisis mentales con cierta frecuencia pero los últimos diez años de su vida los pasó recluido en hospitales psiquiátricos y clínicas de salud mental. Al triste y sordo espectáculo del conflicto tenso y cargado entre Kronecker y Cantor habría de seguirle el largo período de relaciones tragi-cómicas entre Luitzen Brouwer y David Hilbert. El debate intuicionismo-formalismo había pasado a ser feudo personal de estos dos gigantes de las matemáticas. “La tolerancia jamás produjo guerras, la intolerancia ha convertido a la Tierra en una carnicería” -escribió Voltaire, y de ello dan testimonio la violencia, crueldad y ceguera del pleito Hilbert-Brouwer. El punto final lo puso Hilbert en 1928 con la expulsión de Brouwer del comité editorial de los Mathematische Annalen. Los Mathematische Annalen (creada en 1868) eran en los años veintes, sin lugar a dudas, la mejor revista de matemáticas; con una reputación sin paralelo. Ser editor de esta revista era una marca de enorme prestigio para cualquier matemático. Tanto Brouwer como Einstein, habían sido editores de ella desde 1915. Hilbert fue editor en jefe y director. Albert Einstein caracterizó las tragicómicas relaciones entre Hilbert, Brouwer y sus respectivos seguidores como Frosch-Mäusekrieg: (la batalla de los sapos y los ratones) y a Brouwer como “caso clásico de la fina línea divisoria que separa a la genialidad de la locura”. El término Frosch-Mäusekrieg lo toma Einstein de un antiguo poema griego, la Batrachomachia (c. 500 a.C.) de autor desconocido y de una posterior versión alemana medieval del mismo poema que debemos a Rollenhagen. Cuando la guerra Hilbert-Brouwer se calentó, tanto los aliados del uno (Max Born et al) como los del otro (Blumenthal et al) intentaron ganarse para su causa a Albert Einstein con idénticos resultados. Ninguno tuvo éxito porque Einstein no quiso tomar partido. En una carta de 1928 al físico Max Born, Einstein le comenta su desacuerdo con la decisión de Hilbert, director de los Mathematische Annalen, de expulsar a Brouwer del consejo editorial de la revista. En la misma carta advierte a su amigo que no se involucrará en el asunto: Si la enfermedad de Hilbert [Hilbert estaba muy enfermo en 1928] no le diera cierto carácter trágico, esta guerra de tinta sería para mí una de las más divertidas y más exitosas farsas representadas por aquellas gentes que se toman a sí mismas demasiado en serio. Objetiva y brevemente podría decirte que, en mi opinión, creo que a la exagerada influencia que el un tanto lunático Brouwer tiene en la administración de los Annalen, sería posible darle algún remedio menos doloroso que su expulsión del consejo editorial. Esto, sin embargo, sólo te lo digo a ti en privado pues has de saber que no tengo ninguna intención de entrar a competir en esta batalla entre sapos y ratones con otro lance de papel. [Citado por Barrow] Hilbert tuvo mucho miedo a las ideas de Brouwer -tan radicalmente opuestas a las suyas- y a su furia, y buscó silenciarlo. “Nadie nos expulsará del paraíso que Cantor creó para nosotros” fue su grito desesperado. Brouwer tuvo miedo al poder, al rencor y al encono de Hilbert y buscó defenderse atacándolo. Ciertamente quien reivindica la persecución y expulsión de los que disienten de él puede ser realmente temible si tiene los medios para llevar a cabo sus deseos. Brouwer perdió. En diciembre de ese mismo año, tras haber sido acusado por Hilbert de psicópata, Brouwer es destituido para siempre del consejo editorial de los Annalen. Expulsado y humillado, Brouwer cae en una grave depresión y pierde todas sus ilusiones y su entusiasmo precisamente cuando su mayor opositor, el programa formalista, se revela como fundamentalmente defectuoso y colapsa. En ese momento de crisis entra en escena Arend Heyting, su alumno más leal. Su propósito es mantener con vida la causa intuicionista, estudiarla y difundirla. En manos de Heyting, el intuicionismo cae en el formalismo y da lugar a importantes progresos en términos constructivistas en varias áreas de las matemáticas.

Colaboración de SMF. Monografía publicada por Marixa Araujo en el año 2000.